Turunan Persamaan Garis Singgung Kurva

Dalam materi turunan terdapat sub bab mengenai Persamaan Garis Singgung suatu Kurva,lho… mari kita kupas materinya beserta latihan soal persamaan garis singgung kurva,yuks…

Hayooooooo…

Masih ingatkah kalian tentang persamaan garis lurus di tingkat SMP ???!!

Materi itu berkaitan erat dengan materi yang akan kita bahas sekarang ini.

Nah, sebelum menginjak ke inti materi persamaan garis singgung kurva, kita rangkum kembali yuk ingatan kita tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus .

Gradien Garis disimbolkan dengan m$m$dimana :

• gradien pada persamaan garis y=mx+c$y=mx+c$ adalah m$m$
• gradien pada persamaan garis ax+by=c$ax+by=c$ adalah m=−ab$m=-\frac{a}{b}$
• gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)$(x1,y1)$ dan (x2,y2)$(x2,y2)$ adalah m=y2−y1x2−x1$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Gradien dua garis lurus :

• yang saling sejajar maka m1=m2$m_1=m_2$
• yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1$m_1.m_2=-1$

Persamaan Garis Lurus :

• Jika diketahui satu titik (x1,y1)$(x1,y1)$ dan gradien m$m$, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1)$y-y_1=m(x-x_1)$
• Jika diketahui dua titik (x1,y1)$(x1,y1)$ dan (x2,y2)$(x2,y2)$ maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…hehehe…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi y=f(x)$y=f(x)$

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y=f(x)$y=f(x)$ di titik A(a,f(a))$A(a,f(a))$ adalah

m=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx$m=f^{\prime }(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}$

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1)$(x1,y1)$ dengan gradien m$m$ adalah y−y1=m(x−x1)$y-y_1=m(x-x_1)$ , sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a))$(a,f(a))$ pada kurva adalah

y−f(a)=f′(a)(x−a)$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$

ayooo langsung kita praktikkan…

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x2$y=x^2$ di titik (−1,1)$(-1,1)$ !
   Jawab :
   • cari m$m$ dulu di x=−1$x=-1$
     mm====f′(a)2x2(−1)−2$$\begin{array}{rcl}m& =& f^{\prime }(a)\\ & =& 2x\\ m& =& 2(-1)\\ & =& -2\end{array}$$
   • maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m=−2$m=-2$ di (−1,1)$(-1,1)$ adalah:
     y−y1y−1y−1y====m(x−x1)−2(x−(−1))−2x−2−2x−1$$\begin{array}{rcl}y-y_1& =& m(x-x_1)\\ y-1& =& -2(x-(-1))\\ y-1& =& -2x-2\\ y& =& -2x-1\end{array}$$
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x2$y=x^2$ di titik yang berabsis (−2)$(-2)$ !
   Jawab :
   • cari m dulu di absis x=−2$x=-2$
     mm====f′(−2)2x2(−2)−4$$\begin{array}{rcl}m& =& f^{\prime }(-2)\\ & =& 2x\\ m& =& 2(-2)\\ & =& -4\end{array}$$
   • Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya y1$y1$sehingga kita cari terlebih dulu
     yy1===x2(−2)24$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2\\ & =& (-2{)}^2\\ y_1& =& 4\end{array}$$
   • maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m=−4$m=-4$di (−2,4)$(-2,4)$ adalah
     y−y1y−4y−4y====m(x−x1)−4(x−(−2))−4x−8−4x−4$$\begin{array}{rcl}y-y_1& =& m(x-x_1)\\ y-4& =& -4(x-(-2))\\ y-4& =& -4x-8\\ y& =& -4x-4\end{array}$$
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y=2x2−3x$y=2x^2-3x$ yang sejajar garis y=x$y=x$ !
   Jawab :
   • cari gradien m dari persamaan garis lurus y=x$y=x$ ingat y=mx+c$y=mx+c$ maka m=1$m=1$ , diketerangan soal, garis saling sejajar, maka m1=m2$m1=m2$= 1
   • cari titik singgungnya (x1,y1)$(x1,y1)$ingat m=f′(a)$m=f^{\prime }(a)$ maka
     m14xx====f′(a)4x−341$$\begin{array}{rcl}m& =& f^{\prime }(a)\\ 1& =& 4x-3\\ 4x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$
     
     
     x1=1$x1=1$ maka kita cari y1$y1$ dengan mensubtitusi x=1$x=1$ ke y=2x2−3x$y=2x^2-3x$
     yy===2x2−3x2(1)2−3(1)−1$$\begin{array}{rcl}y& =& 2x^2-3x\\ & =& 2(1{)}^2-3(1)\\ y& =& -1\end{array}$$
   • maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m=1$m=1$ di (1,−1)$(1,-1)$ adalah
     y−y1y−(−1)y+1y====m(x−x1)1(x−1)x−1x−2$$\begin{array}{rcl}y-y_1& =& m(x-x_1)\\ y-(-1)& =& 1(x-1)\\ y+1& =& x-1\\ y& =& x-2\end{array}$$
4. Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva y=−2x2+6x+7$y=-2x^2+6x+7$ yang terletak tegak lurus garis x–2y+13=0$x–2y+13=0$ !
   Jawab :
   • cari gradien m dari persamaan garis lurus x–2y+13=0$x–2y+13=0$
     ingat :
     ax+by=c$ax+by=c$ maka m=−ab$m=-\frac{a}{b}$
     untuk x–2y+13=0$x–2y+13=0$ maka m=−1(−2)=12$m=-\frac{1}{(-2)}=\frac{1}{2}$
     keterangan soal garis saling tegak lurus, maka m1.m2=–1$m1.m2=–1$
     m1.m2(12).m2m2m2====−1−1(−1).(21)−2$$\begin{array}{rlr}{m}_1.m_2& =& -1\\ \left(\frac{1}{2}\right).m_2& =& -1\\ m_2& =& (-1).\left(\frac{2}{1}\right)\\ m_2& =& -2\end{array}$$
   • cari titik singgungnya (x1,y1)$(x1,y1)$dengan m=−2$m=-2$
     ingat m=f′(a)$m=f^{\prime }(a)$ maka :
     m−2−4xx====f′(a)−4x+6−2−62$$\begin{array}{rlr}m& =& f^{\prime }(a)\\ -2& =& -4x+6\\ -4x& =& -2-6\\ x& =& 2\end{array}$$
     
     
     x1=2$x1=2$ maka kita cari y1$y1$ dengan mensubtitusi x=2$x=2$ ke y=−2x2+6x+7$y=-2x^2+6x+7$
     yy===−2x2+6x+7−2(2)2+6(2)+711$$\begin{array}{rcl}y& =& -2x^2+6x+7\\ & =& -2(2{)}^2+6(2)+7\\ y& =& 11\end{array}$$
   • maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m=−2$m=-2$di titik (2,11)$(2,11)$ adalah
     y−y1y−11y−11y2x+y−15====atau=m(x−x1)−2(x−2)−2x+4−2x+150